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El pensamiento geométrico y la “aplicabilidad” de las matemáticas Algunas citas

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El pensamiento geométrico y la “aplicabilidad” de las matemáticas


Algunas citas











Inflexión: el siglo XIX

  • La clave: generalización y abstracción de las nociones mismas de espacio y geometría.

  • Doble proceso: dentro de la inicial geometría se distinguen varios estratos conceptuales o estructuras (métrica, proyectiva, afín, topológica), y simultáneamente se formulan alternativas a muchas de esas estructuras.

  • Dos transformaciones prácticamente a la vez, aprox. entre 1820 y 1850:

    • se desarrolla la geometría proyectiva con gran pujanza,
    • y las geometrías no-euclideas de manera algo subterránea.


Geometrías no euclideas



  • El problema del espacio: orígenes con Descartes, el espacio absoluto de Newton vs. la visión relacional de Leibniz; intervención de Kant.

  • Giro completamente nuevo en el XIX, Gauss:

    • “debemos conceder con humildad que, si el número es puramente un producto de nuestro espíritu, el espacio tiene también una realidad fuera de nuestro espíritu, y que no podemos prescribir sus leyes completamente a priori.”
  • Observaciones y mediciones geodésicas y astronómicas: Gauss, Riemann, Schwarzschild...







Geometría proyectiva

  • Abstracción: distancia y ángulo no se conservan bajo transformación proyectiva

  • Nociones controvertidas: puntos y línea en el infinito

  • Aspectos metodológicos:

    • fenómeno de dualidad,
    • contraste entre enfoques sintético y analítico,
    • desarrollo independiente de conceptos métricos.
  • Exigencias axiomáticas: Pasch, Hilbert, etc.

  • Permite fundamentar las geometrías euclidea y no-euclideas

  • Considerada “el todo” de la geometría en el XIX.





¿Cambio de tema?



El triángulo mágico: matemáticas, física y filosofía







Reflexiones

  • Estructuras matemáticas: modelos posibles de lo real.

  • El aspecto misterioso:

    • Dialéctica entre lo real y un mundo ideal?
    • Juego del pensamiento y la imaginación, razón creativa?
  • Implicaciones educativas:

    • El conocimiento matemático no puede construirse sólo “desde abajo”: “sumergir” al alumno
    • Importancia de repasar las grandes transformaciones en la Universidad
    • Papel de la formación física y aplicada.


Fin... ¿?

  • José Ferreirós, Noviembre 2006





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